1.“树状数组”数据结构的一种应用
对含有n个元素的数组(a[1],...,a[k],...,a[n])：
(1)求出第i个到第j个元素的和，sum=a[i]+...+a[j]。
进行j-i+1次加法，复杂度为O(j-i+1)
(2)任意修改其中某个元素的值。
使用数组下标可以直接定位修改，时间复杂度为O(1)
对于同时支持上述两种操作的系统中，求和操作(1)求任意连续个数组元素和的平均时间复杂度为O(n)，修改操作(2)时间复杂度是O(1)。如果系统中大量进行上述两种操作m次，其中执行操作(1)概率1/p，操作(2)概率1-1/p，则系统时间复杂度为：
可以使用树状数组使得上述两种操作的时间复杂度为O(m*logn)。
2.树状数组介绍
核心思想：
(1)树状数组中的每个元素是原数组中一个或者多个连续元素的和。
(2)在进行连续求和操作a[1]+...+a[n]时，只需要将树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)
(3)在进行修改某个元素a[i]时，只需要修改树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)
下图就是一个树状数组的示意图：
解释如下：
1) a[]: 保存原始数据的数组。(操作(1)求其中连续多个数的和，操作(2)任意修改其中一个元素)
e[]: 树状数组，其中的任意一个元素e[i]可能是一个或者多个a数组中元素的和。如e[2]=a[1]+a[2]; e[3]=a[3]; e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]。
2） e[i]是几个a数组中的元素的和？
如果数字 i 的二进制表示中末尾有k个连续的0，则e[i]是a数组中2^k个元素的和，则e[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i-1]+a[i]。
如：4=100(2) e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
6=110(2) e[6]=a[5]+a[6]
7=111(2) e[7]=a[7]
3) 后继：可以理解为节点的父亲节点。是离它最近的，且编号末位连续0比它多的就是它的父亲,如e[2]是e[1]的后继；e[4]是e[2]的后继。
如e[4] = e[2]+e[3]+a[4] = a[1]+a[2]+a[3]+a[4] ，e[2]、e[3]的后继就是e[4]。
后继主要是用来计算e数组，将当前已经计算出的e[i]添加到他们后继中。
前驱：节点前驱的编号即为比自己小的，最近的，最末连续0比自己多的节点。如e[7]的前驱是e[6],e[6]的前驱是e[4]。
前驱主要是在计算连续和时，避免重复添加元素。
如：Sum(7)=a[1]+...+a[7]=e[7]+e[6]+e[4]。(e[7]的前驱是e[6], e[6]的前驱是e[4])
计算前驱与后继：
lowbit(i) = ( (i-1) ^ i) & i ;
节点e[i]的前驱为 e[ i - lowbit(i) ]；
节点e[i]的前驱为 e[ i + lowbit(i) ]
3.树状数组代码示例
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 4 using namespace std; 5 6 int input(int*,int*,int); ///输入数据 7 int calStageSum(int*,int); ///计算树状数组 8 int getSum(int*,int); ///求出前n个数字的和 9 int updataElement(int*,int*,int,int,int); ///更新某一位置上的元素 10 11 int main (){ 12 int n; 13 int newValue; 14 cout<<"Input the n(n>3) :"; 15 cin>>n; 16 17 int *num = new int[n+1]; 18 int *sum = new int[n+1]; 19 20 cout<<"Input "<<n<<" numbers"<<endl; 21 input(num,sum,n); 22 calStageSum(sum,n); 23 24 cout<<"The sum of first three number:"<<getSum(sum,3)<<endl; 25 26 cout<<"Update the 2nd number value:"; 27 cin>>newValue; 28 updataElement(sum,num,n,2,newValue); 29 30 cout<<"The sum of first three number:"<<getSum(sum,3)<<endl; 31 32 delete []num; 33 delete []sum; 34 return 0; 35 } 36 37 int input(int* num,int *sum,int n){ 38 for(int i=1;i<=n;i++){ 39 cin>>num[i]; 40 sum[i] = num[i]; 41 } 42 return 0; 43 } 44 45 int calStageSum(int *sum,int n){ 46 int lowbit; 47 int par; 48 for(int i=1;i<=n;i++){ 49 lowbit = ((i-1)^i)&i; 50 par = lowbit+i; ///后继节点id 51 if(par <= n){ 52 sum[par] = sum[par] + sum[i]; 53 } 54 } 55 return 0; 56 } 57 58 int getSum(int* sum,int n){ 59 int sumPreN = 0; 60 int lowbit = 0; 61 while(n!=0){ 62 sumPreN += sum[n]; 63 lowbit = ((n-1)^n)&n; 64 n = n - lowbit; ///前驱节点id 65 } 66 return sumPreN; 67 } 68 69 int updataElement(int* sum,int *num,int n,int pos,int newvalue){ 70 int lowbit = 0; 71 int dis = newvalue - num[pos]; 72 num[pos] = newvalue; 73 sum[pos] = sum[pos]+dis; 74 75 while(true){ 76 lowbit = ((pos-1)^pos)&pos; 77 pos = pos + lowbit; ///后继节点id 78 if(pos <= n){ 79 sum[pos] = sum[pos]+dis; 80 } 81 else 82 break; 83 } 84 return 0; 85 }
