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有序矩阵中第K小的元素讲解

leader 2020年10月21日 编程语言 282 0

给定一个 n x n 矩阵,其中每行和每列元素均按升序排序,找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意,它是排序后的第 k 小元素,而不是第 k 个不同的元素。

 

示例:

matrix = [
[ 1, 5, 9],
[10, 11, 13],
[12, 13, 15]
],
k = 8,

返回 13。

解:这个题很有意思,找的不是某个数而是第k小的,这就不能简单的定个点周围找了,可以参考二分查找

 

我们只要沿着这条锯齿线走一遍即可计算出这两个板块的大小,也自然就统计出了这个矩阵中不大于 midmid 的数的个数了。

走法演示如下,取 mid=8mid=8:

 

 

初始位置在 matrix[n - 1][0]matrix[n−1][0](即左下角);

设当前位置为 matrix[i][j]matrix[i][j]。若 matrix[i][j] \leq midmatrix[i][j]≤mid,则将当前所在列的不大于 midmid 的数的数量(即 i + 1i+1)累加到答案中,并向右移动,否则向上移动;

不断移动直到走出格子为止。

我们发现这样的走法时间复杂度为 O(n)O(n),即我们可以线性计算对于任意一个 midmid,矩阵中有多少数不大于它。这满足了二分查找的性质。

不妨假设答案为 xx,那么可以知道 l\leq x\leq rl≤x≤r,这样就确定了二分查找的上下界。

每次对于「猜测」的答案 midmid,计算矩阵中有多少数不大于 midmid :

如果数量不少于 kk,那么说明最终答案 xx 不大于 midmid;
如果数量少于 kk,那么说明最终答案 xx 大于 midmid。
这样我们就可以计算出最终的结果 xx 了。

class Solution { 
   public: 
    bool check(vector<vector<int>>& matrix, int mid, int k, int n) { 
        int i = n - 1; 
        int j = 0; 
        int num = 0; 
        while (i >= 0 && j < n) { 
            if (matrix[i][j] <= mid) { 
                num += i + 1; 
                j++; 
            } else { 
                i--; 
            } 
        } 
        return num >= k; 
    } 
 
    int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) { 
        int n = matrix.size(); 
        int left = matrix[0][0]; 
        int right = matrix[n - 1][n - 1]; 
        while (left < right) { 
            int mid = left + ((right - left) >> 1); 
            if (check(matrix, mid, k, n)) { 
                right = mid; 
            } else { 
                left = mid + 1; 
            } 
        } 
        return left; 
    } 
};

 

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